ЗАДАНИЕ 25

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

    – символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
    – символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹⁰, найдите все числа, соответствующие маске 1?2*4, делящиеся на 2024 без остатка и являющиеся полными квадратами.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 2024.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

• символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
• символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁷, найдите все простые числа, соответствующие маске 3?1111*.

В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:
— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.
Например, маске 123*475 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹², найдите все числа, соответствующие маске 12?3*456??9, делящиеся на 98591 без
остатка.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце — соответствующие
результаты деления этих чисел на 98591.
Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(М. Попков) На Северном полюсе Дед Мороз готовится к распределению подарков, и ему нужно определить подходящие номера домов, где дети ожидают подарков. Для этого он использует маску, представляющую номера домов. Однако, чтобы добавить новогоднего волшебства, Дед Мороз использует особые символы в маске:
– символ «?» означает, что Дед Мороз заглянет только в один дом, который имеет произвольную цифру в номере;
– символ «*» означает, что Дед Мороз посетит все дома с произвольными последовательностями цифр, в том числе и пустыми.
Дед Мороз хочет подарить подарки всем детям, чьи номера домов не превышают 10⁹, соответствуют маске 1?58*5?9 и делятся на 3057 без остатка. Найдите все такие номера домов и их результаты деления на 3057, чтобы каждый ребенок получил свой подарок. Запишите найденные номера домов в порядке возрастания в первом столбце, а результаты деления на 3057 во втором столбце таблицы.

(PRO100 ЕГЭ) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

• символ «A» означает ровно одну произвольную чётную цифру;
• символ «B» означает любую последовательность нечётных цифр произвольной длины; в том числе «B» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123B4A5 соответствуют числа 123405 и 12399405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹⁰, найдите все числа, соответствующие маске 1A2157B4, делящиеся на 133 без остатка. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 133.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(Л. Шастин) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «#» означает последовательность из ровно трёх произвольных цифр.

Например, маске 123#4?5 соответствуют числа 123333405 и 123001405. Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹⁰ , найдите все числа, соответствующие маске 21#68?79, делящиеся на 1777 без остатка. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 1777.

(Л. Шастин) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:
— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.
Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих 10^10, найдите все числа, соответствующие маске 12*34?5, делящиеся на 21025 без остатка и состоящие из одинакового количества чётных и нечётных цифр.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце — соответствующие им результаты деления этих чисел на 21025.
Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(Л. Шастин) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹², найдите все числа, соответствующие маске 1*28?64 и делящиеся на 596 без остатка. В ответе запишите количество подходящих чисел и целую часть их среднего арифметического.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

- символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
- символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске 3?99?7*8, делящиеся на 3226 без остатка.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 3226.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

- символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
- символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹, найдите все числа, соответствующие маске *75?122*, делящиеся на 8387 без остатка.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 8387.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

- символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
- символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹, найдите все числа, соответствующие маске ?46?44*2, делящиеся на 6718 без остатка.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 6718.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

- символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
- символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹, найдите все числа, соответствующие маске ?2?5554*, делящиеся на 2476 без остатка.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 2476.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

- символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
- символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹⁰, найдите все числа, соответствующие маске *3185*32, делящиеся на 7157 без остатка.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 7157.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

- символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
- символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹⁰, найдите все числа, соответствующие маске 56*139?4, делящиеся на 5716 без остатка.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 5716.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

- символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
- символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹⁰, найдите все числа, соответствующие маске 3*231*42, делящиеся на 5341 без остатка.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 5341.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

- символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
- символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹⁰, найдите все числа, соответствующие маске *222132?, делящиеся на 2291 без остатка.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 2291.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

- символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
- символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске 392*4?4*, делящиеся на 7058 без остатка.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 7058.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

- символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
- символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹⁰, найдите все числа, соответствующие маске 7*61*331, делящиеся на 9627 без остатка.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 9627.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

- символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
- символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹, найдите все числа, соответствующие маске *3583?1*, делящиеся на 7355 без остатка.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 7355.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

- символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
- символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске *6221*6?, делящиеся на 2016 без остатка.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 2016.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

- символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
- символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹⁰, найдите все числа, соответствующие маске 27*6584?, делящиеся на 5282 без остатка.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 5282.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

1) символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

2) символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹⁰, найдите все числа, соответствующие маске 9*253?74, делящиеся на 2919 без остатка. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 2919.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(PRO100 ЕГЭ) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:
    — символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
    — символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Среди натуральных чисел, больших 65000, найдите первые 7 чисел, удовлетворяющих маске 6*97*5? и имеющих не менее 4 чётных делителей.

Запишите в ответе найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого числа запишите сумму его чётных делителей.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:
– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.
Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹⁰, найдите все числа, соответствующие маске 1?2157*4, делящиеся на 2024 без остатка.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 2024.
Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:
— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.
Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске 12*34?5, делящиеся на 2025 без остатка.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце — соответствующие им результаты деления этих чисел на 2025.
Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:
— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.
Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске 1*2??76, делящиеся на 1923 без остатка.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце — соответствующие им результаты деления этих чисел на 1923.
Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:
1) символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
2) символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.
Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске 3?1*57, делящиеся на 2023 без остатка.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 2023.
Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(А.Богданов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:
— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.
Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Найдите десятиразрядные числа кратные 2023 с максимальной суммой цифр и отвечающие маске «1*1». В ответ запишите частное от деления на 2023 пяти наибольших таких чисел в порядке возрастания.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:
•    символ «?» означает ровно одну нечетную цифру, кратную 3;
•    символ «*» означает любую последовательность четных цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.
Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123435 и 12300495. Числа 123425 и 12355435 такой маске не соответствуют.

Найдите все числа, меньшие 10⁹, соответствующие маске 24*68?35 и делящиеся без остатка на 13. В качестве ответа приведите все найденные числа в порядке возрастания, справа от числа укажите результат целочисленного деления его на 13.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:
–   символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.
Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Найдите все числа, меньшие 10¹², соответствующие маске 123?4*5679 и делящиеся без остатка на 4013. В качестве ответа приведите все найденные числа в порядке возрастания, справа от числа укажите результат целочисленного деления его на 4013.

Количество полей для ответа может быть избыточно.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:
–   символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.
Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Найдите все числа, меньшие 10⁶, которые имеют ровно 24 делителя, соответствующих маске 4*, и максимальный делитель таких чисел, соответствующий маске.

В ответе укажите найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого числа выведите его максимальный делитель, соответствующий маске.

(А.Богданов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405. Найдите все натуральные числа, не превышающие 10⁹, которые соответствуют маске 20*23 и при этом без остатка делятся на 2023, а сумма цифр каждого такого числа кратна 7 и меньше 20. В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания.

(Е. Джобс) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:
–   символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.
Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Найдите первые пять чисел, больших 500 000, сумма делителей которых соответствует маске *7?. Найденные числа выведите в порядке возрастания, справа от каждого запишите найденную сумму делителей.

(Л. Шастин) Пусть M – сумма всех натуральных делителей целого числа, не считая единицы и самого числа. Если число простое, тогда M = 0.

Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 1 273 547, в порядке возрастания и ищет среди них такие, для которых значение M при делении на 100 000 даёт в остатке простое число. Вывести первые 5 найденных чисел и соответствующие им значения M.  

Формат вывода: для каждого из 5 таких найденных чисел в отдельной строке сначала выводится само число, затем – значение М. Строки выводятся в порядке возрастания найденных чисел. 

Например, для числа 6 М = 2 + 3 = 5.  

Количество строк в таблице для ответа избыточно. 

(Л. Шастин) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «#» означает произвольное трёхзначное натуральное число.

Например, маске 123#4?5 соответствуют числа 123333405 и 123111405. Среди натуральных чисел, принадлежащих отрезку [5*10⁵; 10⁶], найдите те, у которых количество делителей, соответствующих маске #0, превышает 45. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – количество их делителей, соответствующих заданной маске.

(Л. Шастин) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «#» означает последовательность из ровно трёх произвольных цифр.

Например, маске 123#4?5 соответствуют числа 123333405 и 123001405. Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹ , найдите все числа, соответствующие маске 13#57?9, делящиеся на 999 без остатка. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 999.

(В. Рыбальченко)Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:
- символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
- символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.
Например, маске 13*4?5 соответствуют числа 13405 и 1300425. 
Найдите все натуральные числа меньшие 10⁹, которые кратны 183 и соответствуют маске «??287*139».
В ответ в первом столбце перечислите все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце соответственно результаты деления этих чисел на 183. 

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:
– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.
Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске 12??15*6, делящиеся на 253 без остатка.
В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 253.
Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(А.Богданов)  Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:
— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.
Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405. 
Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹⁰ , найдите все числа, соответствующие маске 1234*, делящиеся на 137 без остатка, а число за звездочкой делится без остатка на куб суммы своих цифр. В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания.

(М. Шагитов) Определите маску числа как последовательность цифр, которая также может содержать следующие символы:

- символ "?" представляет собой ровно одну произвольную цифру;
- символ "*" представляет собой любую последовательность цифр произвольной длины, включая пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Требуется найти все натуральные числа, не превышающие 10⁷, которые соответствуют маске 22?0*5? и делятся на 111без остатка.

Запишите найденные числа в порядке возрастания в первом столбце таблицы и результаты деления этих чисел на 111 во втором столбце.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(А. Рогов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске 671??1*, делящиеся на 2023 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 2023.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(Л. Шастин) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную нечётную цифру;

– символ «*» означает любое чётное число; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123738465 и 123475.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹⁰ , найдите 5 наибольших чисел, соответствующих маске ?136*1, делящихся на 11071 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 11071.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(А.Богданов) Обозначим символом # последовательность цифр, сумма которых равна простому числу P. Среди натуральных чисел, не превышающих 10**10, найдите все числа, соответствующие маске 1234# с разными P и делящиеся на (P+2)**3. Если для конкретного P найдется несколько чисел, то запишите минимальное из них. В ответе запишите найденные числа в порядке возрастания. Справа от каждого числа запишите его число P.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

–     символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
–  символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске 1?0?6*39, делящиеся на 131 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 131.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(Грачев Н.) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

- символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
- символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Найдите все натуральные числа, не превосходящие 10⁹, для которых выполнены все условия:

- соответствуют маске *18??18;
- делятся на 18 и на 1018 без остатка;

В ответе запишите в первом столбце таблицы первые пять найденных чисел в порядке возрастания, справа от каждого числа кол-во его делителей.

(В. Рыбальченко) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

- символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
- символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.
- символ «Ч» означает ровно одну четную цифру.
Например, маске 1Ч3*4?5 соответствуют числа 123405 и 16300425.

Найдите все натуральные числа, делящиеся нацело на 780 и 1323 не превышающие 3*10⁸, код которых соответствует маске «*Ч32??».
В ответе запишите найденные числа в десятичной системе счисления в порядке убывания, а справа от каждого числа – соответствующее частное от деления на 780

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

–   символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске 11??4*56, делящиеся на 211 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 211.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405. Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸ , найдите все числа, соответствующие маске 12??36*1, делящиеся на 273 без остатка. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 273.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(Л. Шастин) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную чётную цифру;

– символ «*» означает любое нечётное число; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123737465 и 123485.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹⁰ , найдите 5 наибольших чисел, соответствующих маске ?136*, делящихся на 53191 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 53191.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(Д. Статный) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Найдите все числа, не превышающие 10¹⁰, которые соответствуют маске 8*80*06 и при этом без остатка делятся на 4546. В ответе запишите каждое 60-е число, считая от 1-го (61-е, 121-е и т.д.) в порядке возрастания, справа от каждого запишите частное от его деления на 4546.

(А. Кирпичев) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Назовем суперпростым число, которое стоит на месте с простым номером в ряду простых чисел (нумерация начинается с 1).

Например, начало списка суперпростых чисел выглядит так:

1. 3 (стоит на 2 месте в списке простых чисел)

2. 5 (стоит на 3 месте в списке простых чисел)

3. 11 (стоит на 5 месте в списке простых чисел)

Среди суперпростых чисел, не превышающих 10⁵, найдите все числа, соответствующие маске 1*7?7.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце — соответствующие им номера мест в списке простых чисел.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹, найдите все числа, соответствующие маске 12345?7?8, делящиеся на число 23 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 23.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске 1234*54, делящиеся на 21 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 21.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(А.Богданов) Найдите все натуральные числа, не превышающие 10¹⁰, которые соответствуют маске 1?2*0*2?1 и при этом содержат ровно три делителя. В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:   

- символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

- символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Найдите все натуральные числа, не превосходящие 10⁹, для которых выполнены все условия:

- соответствуют маске *31*65?;

- делятся на 31 и 2031 без остатка;

- количество делителей числа является результатом любой степени двойки

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого числа их частное от деления на 2031.

(PRO100 ЕГЭ) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹⁰, найдите все числа, соответствующие маске 9?979*8, делящиеся на 50068 без остатка и содержащие хотя бы одну цифру 0.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 50068.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(Д. Статный) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹, найдите все числа, соответствующие маске 6323*353?, делящиеся на 28 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце — соответствующие им результаты деления этих чисел на 28.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске 2*5443?1, делящиеся на 23 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце — соответствующие им результаты деления этих чисел на 23.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹⁰, найдите все числа, соответствующие маске 1?2139*4, делящиеся на 3052 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 3052.

(А.Богданов) Найдите все натуральные числа, не превышающие 10¹⁰, которые соответствуют маске 1?1?1?1*1 и при этом без остатка делятся на 2023, а сумма цифр числа равна 22. В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(Н. Сафронов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Найдите все натуральные числа, не превосходящие 10⁷, для которых выполняются одновременно все условия:

• соответствуют маске *2?2*;

• являются палиндромами;

• делятся на число 53 без остатка;

• количество делителей больше 30.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце — сумму делителей.

(А. Рогов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске *15*7424, которые делятся без остатка только на одно из чисел 111, 113, 127.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на одно из чисел 111, 113, 127, на которое число делится без остатка.

(А. Игнатюк) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁷, найдите все числа, удовлетворяющие маске 34?8*9 имеющие более 4 простых делителей (не равных самому числу и 1). В ответ в порядке возрастания выпишите подходящие числа и их наибольшие простые делители.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁷ , найдите все числа, соответствующие маске 2?1*67, делящиеся на 159 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 159.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

–   символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске 12?3*46, делящиеся на 129 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 129.

Количество строк в таблице для ответа избыточно

(Н. Сафронов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Найдите все натуральные числа, не превосходящие 10⁷, соответствующие маске 12*348, делящиеся на число 12 без остатка, и у которых ровно 12 делителей. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце — максимальный делитель, не равный самому числу. 

(А. Игнатюк) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁷, найдите все числа, соответствующие маске 12?*45 и имеющие ровно 18 делителей, отличных от единицы и самого числа. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующий каждому из них наибольший делитель, не равный самому числу.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(Д. Тараскин) Программа перебирает числа больше 10⁹ и выбирает из них числа-палиндромы, в которых никакие две четные и две нечетные цифры не стоят рядом и наибольший делитель (отличный от 1 и самого числа) кратен 7. Выведите первые 5 чисел, которые выберет программа, и для каждого числа выведите наибольший делитель.

(А.Богданов) Найдите девятизначные числа, отвечающих маске «1*1*1?», которые делятся на 19, 6 и 2023. В ответе запишите пять наибольших найденных чисел в порядке возрастания.

(Д. Тараскин) Программа перебирает числа больше 10⁹ и выбирает из них числа-палиндромы, у которых наибольший делитель (отличный от 1 и самого числа) кратен 7. Выведите первые 5 чисел, которые выберет программа, и для каждого числа выведите наибольший делитель.

Примечание: Числа-палиндромы — числа, которые читаются одинаково как справа налево, так и слева направо.

(Д. Тараскин) Алгоритм перебирает числа больше 10⁶ и выбирает из них те, у которых среди делителей будет хотя бы 20 чисел, являющиеся степенями числа 2, отличные от 1. В ответ запишите первые 5 чисел, которые выберет алгоритм, и для каждого числа выпишите сумму делителей, не являющиеся степенями 2 (отличные от 1 и самого числа). Если делителей кроме степеней 2 в числе не окажется, то выведите 0.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

·   символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

· символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, которые делятся на сумму нечётных цифр числа и соответствующие маске 124*5*79. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – сумму всех цифр этого числа.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, больших 500 000, найдите 5 наименьших чисел у которых есть ровно три соответствующих маске *1?3 делителя.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им максимальные делители, не считая самого числа. Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(A. Бойко) Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 600 000, в порядке возрастания и ищет среди них такие, что они делятся на 6 без остатка и их соседи - простые числа. Для первых шести найденных чисел выведите соседей каждого найденного числа в порядке возрастания. Соседями числа называются числа, отличные от него на 1.

(В. Петров) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: 

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405. 

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹, найдите все числа, семеричная запись которых соответствует маске ?213*5664, делящиеся на 333₁₀ без остатка.  

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 333₁₀.  Все числа в ответе указывать в десятичной системе счисления.

Количество строк в таблице для ответа избыточно. 

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Известно, что в числе, соответствующему маске 32*54?123, четное количество цифр, при этом в числе нет нулей и сумма левой половины цифр равна сумме правой половине цифр. Найдите все такие числа, кратные 519 и меньшие 10¹³. Выведите найденные числа в порядке возрастания, справа от них укажите значение, получаемое при делении числа на 519.

Пример с суммами: число 15233342 имеет сумму правой половины 1+5+2+4=12 и сумму левой половины 3+3+4+2=12.

(А. Рогов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске *1?542?, делящиеся на 2084 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 2084.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

- символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

- символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405. Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁷, найдите все числа, соответствующие маске 3*52?, у которых нечётное количество делителей. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им максимальные делители, не считая самого числа.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405. Среди натуральных чисел, превышающих 10⁹, найдите 5 наименьших чисел, соответствующие маске 1*2*7*04 и имеющих ровно 45 делителей. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им максимальные делители, не считая самого числа.

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405. Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹, найдите все числа, соответствующие маске 15*3*09 и имеющие ровно 9 делителей. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им максимальные делители, не считая самого числа

(М. Ишимов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405. Найдите все натуральные числа, квадраты которых не превышают 10¹⁰ и соответствуют маске 4*1?009. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им квадраты.

(А. Рогов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹⁰, найдите все числа, соответствующие маске

32?056*6, делящиеся на 2023 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 2023.

(А. Агафонцев) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Найдите 7 наибольших чисел, меньших 10⁷, которые кратны 217 и удовлетворяют маске 14?4*. Выведите эти числа в порядке возрастания, справа от каждого числа выведите сумму его нечётных делителей.

(А. Агафонцев) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Найдите наименьшие 7 чисел, удовлетворяющих маске ?6*6*?6 и при этом кратных 6, 7 и 8. Выведите эти числа в порядке возрастания, справа от каждого числа выведите сумму его делителей.

(А. Агафонцев) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Среди чисел не превышающих 10⁷, найдите 5 наибольших чисел, удовлетворяющих маске 9?*55*7. Выведите эти числа в порядке возрастания, справа от каждого числа выведите остаток от деления суммы его делителей на 21.

(А. Агафонцев) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Среди натуральных чисел, больших 65000, найдите первые 7 чисел, удовлетворяющих маске 6*97*5? и имеющих не менее 4 чётных делителей. Запишите в ответе найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого числа запишите сумму его чётных делителей.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: 

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405. 

Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹⁰, найдите все числа, соответствующие маске 1?2139*4, делящиеся на 2023 без остатка.  

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 2023.  

Количество строк в таблице для ответа избыточно. 

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;
– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске 2*1234?6, делящиеся на 37 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 37.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸ , найдите все числа, соответствующие маске 12*4?65, делящиеся на 161 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 161.

Количество строк в таблице для ответа избыточно

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸ , найдите все числа, соответствующие маске 1234*7, делящиеся на 141 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 141.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(А. Богданов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: 

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; 

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Найдите 5 наименьших чисел, длинной не более 10 разрядов, которые кратны 73 и удовлетворяют маске 12345*76. В ответе выведите найденные числа в порядке возрастания.

Найдите числа большие 800000, сумма и произведение делителей которых нечётны. В ответе укажите 6 наименьших из найденных чисел, количество делителей которых больше 10. Для каждого найденного числа выведите количество его делителей. 

Формат выходных данных: найденные числа в порядке возрастания. Справа от каждого найденного числа число его делителей.

Назовём число "идеальным", такое в десятичной записи которого нет нулей и перестановкой цифр которого можно получить простое число не равное исходному числу. Например, 14 - идеальное число, а 23 не является идеальным.

Найдите и выпишите все идеальные числа, принадлежащие отрезку [1 411 111 115; 1 411 111 127] в порядке возрастания.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 960 000, в порядке возрастания и ищет среди них такие, у которых есть хотя бы три простых делителя, соответствующих маске *3? и не равных самому числу. Вывести первые пять найденных чисел и для каждого сумму всех простых делителей, соответствующих маске *3? и не равных самому числу.

Формат вывода: для каждого из пяти таких найденных чисел в отдельной строке сначала выводится само число, затем – значение суммы делителей, соответствующих условию.

Строки выводятся в порядке возрастания найденных чисел.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске 123*890 и делящиеся на 27 без остатка. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце — соответствующие им частные от деления на 27.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

- символ "?" означает ровно одну произвольную цифру.

- символ "*" означает любую последовательность цифр произвольной длины. Кроме того, "*" может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹, найдите все числа, соответствующие маске 2?34?56?8, делящиеся на число 151 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце - соответствующие им результаты деления этих чисел на 151.

Количество строк в таблице для ответы избыточно.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

–   символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

–   символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹, найдите все числа, соответствующие маске 12345?7?8, делящиеся на число 68 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 68.

Пусть D(N) – седьмой по величине (считая с наибольшего) нетривиальный делитель натурального числа N (нетривиальными считаются все делители, кроме 1 и самого числа). Например, D(1000) = 40. Если у числа N меньше 7 различных нетривиальных делителей, то принимаем D(N) = 0. Найдите 5 наименьших натуральных чисел, превышающих 400 000 000, для

которых D(N) > 0. В ответе запишите для каждого найденного N сначала значение D(N), а затем общее количество нетривиальных делителей (в порядке возрастания соответствующих чисел N).

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹, найдите все числа, соответствующие маске 12345?7?8, делящиеся на число 23 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 23.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Назовём максой числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

- символ "?" означает ровно одну произвольную цифру.

- символ "*" означает любую последовательность цифр произвольной длины. Кроме того, "*" может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске 12*6789, делящиеся на число 39 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце - соответствующие им результаты деления этих чисел на 39.

Количество строк в таблице для ответы избыточно.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Найдите 5 минимальных чисел, больших 700000, которые кратны 13 и не подходят ни под одну из трех масок: *0??3*, *4??2 и *1*. Найденные числа запишите в порядке возрастания, справа от каждого найденного числа укажите сумму значений разрядов.

Пусть N(k) = 1 850 000 000 + k, где k – натуральное число. Найдите пять наименьших значений k, при которых N(k) имеет нечётное количество различных чётных делителей. В ответе запишите найденные значения k в порядке возрастания, справа от каждого значения запишите число чётных делителей N(k).

Пусть N(k) = 750 000 + k, где k – натуральное число. Найдите пять наименьших значений k, при которых N(k) имеет нечётное количество различных чётных делителей. В ответе запишите найденные значения k в порядке возрастания, справа от каждого значения запишите число чётных делителей N(k).

Найдите все натуральные числа, цифры в которых идут в строго возрастающем порядке, кратные 103.В качестве ответа запишите все найденные числа в порядке возрастания, справа от числа укажите число, умножение которого на 103 дает найденное.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁶, найдите все числа, соответствующие маске 12*45* и делящиеся на число 51 без остатка. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце — соответствующие им частные от деления на 51.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹, найдите все числа, соответствующие маске 123*567? и делящиеся на 169 без остатка. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце — соответствующие им частные от деления на 169.

(Калинин А.) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, превышающих 320400, первые пять чисел, которые делятся на все чётные числа, соответствующие маске 1?.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце — соответствующие им частные от деления на максимальное из чётных чисел, соответствующие маске 1?.

(Калинин А.) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹, найдите все числа, соответствующие маске 1?3?5?6?8 и делящиеся хотя бы на половину из всех двузначных чисел, соответствующие маске ?2 без остатка. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце — соответствующие им частные от деления на наименьший из делителей, соответствующих маске ?2.

Назовём максой числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

- символ "?" означает ровно одну произвольную цифру.

- символ "*" означает любую последовательность цифр произвольной длины. Кроме того, "*" может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹, найдите все числа, соответствующие маске 1234?57?8, делящиеся на число 17 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце - соответствующие им результаты деления этих чисел на 17.

Количество строк в таблице для ответы избыточно.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹, найдите все числа, соответствующие маске 1*5*9, значения разрядов в которых идут в строго возрастающем порядке, и делящиеся на 21 без остатка. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце — соответствующие им частные от деления на 21.

Количество строк для ввода ответа избыточно

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

— символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹, найдите все числа, соответствующие маске 12345?6?8 и делящиеся на 17 без остатка. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце — соответствующие им частные от деления на 17.

Пусть M(N) = | P(N) - E(N) | (модуль разности) для натурального числа N.

P(N) - сумма абсолютно всех простых делителей числа N.

E(N) - сумма абсолютно всех чётных делителей числа N.

Среди чисел N > 100 000 000 найдите 5 наименьших таких, у которых

количество простых делителей совпадает с количеством чётных делителей.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке

возрастания, а во втором столбце — соответствующие им значения M(N).

Пусть D(N) – шестой по величине (считая с наибольшего) нетривиальный нечётный делитель натурального числа N (нетривиальными считаются все делители, кроме 1 и самого числа). Например, D(315) = 15. Если у числа N меньше 6 различных нетривиальных нечётных делителей, то принимаем D(N) = 0. Найдите 5 наименьших натуральных чисел, превышающих 200 000 000, для которых D(N) > 0. В ответе запишите сначала значение N, затем значение D(N) (в порядке возрастания соответствующих чисел N).

Пусть D(N) – шестой по величине (считая с наибольшего) нетривиальный делитель натурального числа N (нетривиальными считаются все делители, кроме 1 и самого числа). Например, D(1000) = 50. Если у числа N меньше 6 различных нетривиальных делителей, то принимаем D(N) = 0. Найдите 5 наименьших натуральных чисел, превышающих 300 000 000, для которых D(N) > 0. В ответе запишите сначала значение N, затем значение D(N) (в порядке возрастания соответствующих чисел N).

Пусть М — сумма минимального и максимального натуральных делителей целого числа, не считая единицы и самого числа. Если таких делителей у числа нет, то значение М считается равным нулю. Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 220 000, в порядке возрастания и ищет среди них такие, для которых значение М оканчивается на 4. Выведите первые пять найденных чисел и соответствующие им значения М.

Формат вывода: для каждого из пяти таких найденных чисел в отдельной строке сначала выводится само число, затем — значение М.

Строки выводятся в порядке возрастания найденных чисел.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Пусть M(N) – пятый по величине делитель натурального числа N без учёта самого числа и единицы. Например, M(1000) = 100. Если у числа N меньше 5 различных делителей, не считая единицы и самого числа, считаем, что M(N) = 0. Найдите 5 наименьших натуральных чисел, превышающих 460 000 000, для которых M(N) > 0. В ответе запишите найденные значения M(N) в порядке возрастания соответствующих им чисел N.

Пусть S - сумма трех максимальных натуральных делителей целого числа, не считая единицы и самого числа, не превышающих половину данного числа. Если подходящих делителей у числа меньше чем 3, считать значение S равным нулю.

Напишите программу, которая перебирает целые числа, не превышающие 1 200 000, и ищет среди них такие, для которых значение S отлично от нуля, кратно 2022 и не равно самому числу. Программа должна найти и вывести 5 наибольших таких чисел и соответствующие им значения S. 

Формат вывода: для каждого числа выводится сначала само число, затем соответствующее ему значение S в порядке возрастания найденных чисел. 

Например, для числа 20: S = 4 + 5 + 10 = 19

Пусть S - сумма двух минимальных натуральных делителей целого числа, не считая единицы и самого числа. Если таких делителей у числа менее двух, то считать значение S равным нулю.

Напишите программу, которая перебирает целые числа, не превышающие 1 200 000, и ищет среди них такие, для которых значение S не равно нулю и кратно 2022. Программа должна найти и вывести 5 наибольших таких чисел и соответствующие им значения S. 

Формат вывода: для каждого числа выводится сначала само число, затем соответствующее ему значение S в порядке возрастания найденных чисел. 

Например, для числа 20: S = 2 + 4 = 6

Обозначим через P(N) – произведение 5 наименьших различных нетривиальных делителей натурального числа N (не считая единицы и самого числа). Если у числа N меньше 5 таких делителей, то P(N) считается равным нулю. Найдите 5 наименьших натуральных чисел, превышающих 400 000 000, для которых P(N) оканчивается на 17 и не превышает N. В ответе для каждого найденного числа запишите сначала значение P(N), а затем – наибольший делитель, вошедший в произведение P(N).

Найдите все натуральные числа, принадлежащие отрезку [113 000 000; 114 000 000], у которых ровно три различных чётных делителя. В ответе перечислите найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого числа запишите его второй по величине чётный делитель.

(А. Богданов) Найдите наименьшее натуральное число, которое имеет ровно 1000 делителей. В ответе запишите сначала само число и затем его наибольший простой делитель. Подсказка: используйте основную теорему арифметики.

Найдите все натуральные числа, принадлежащие отрезку [55 000 000; 60 000 000], у которых ровно пять различных нечётных делителей (количество чётных делителей может быть любым). В ответе перечислите найденные числа, справа от каждого числа запишите его наибольший нечётный делитель.

Среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [125697; 125721], найдите числа, которые представляют собой произведение двух различных простых делителей. Для каждого найденного числа запишите эти два делителя в таблицу на экране с новой строки в порядке возрастания произведения этих двух делителей. Делители в строке таблицы также должны следовать в порядке возрастания. 

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [6080068; 6080176], простые числа. Выведите все найденные простые числа в порядке возрастания.

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, превышающих 300000, первые четыре числа, удовлетворяющих условию: количество делителей, кратных трём и не равных самому числу, равно пяти.

В ответе запишите четыре пары чисел в порядке возрастания первых чисел в паре: число и максимальный делитель, кратный трём и не равный самому числу.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

(А.Н. Носкин) Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [190201; 190260], числа, имеющие ровно 4 различных чётных делителя. В ответе для каждого найденного числа запишите два его наибольших чётных делителя в порядке убывания.

Пусть S (N) – сумма трёх наибольших нетривиальных делителей числа N (не считая единицы и самого числа). Если у числа N меньше трёх таких делителей, то S (N) считается равным 0. Найдите 5 наименьших натуральных чисел, превышающих 10 000 000, для которых S (N) – полный квадрат какого-либо натурального числа. В ответе запишите найденные значения S (N) в порядке возрастания соответствующих им чисел N.

Число строк для ввода ответа избыточно.

Пусть M (N) – произведение 5 наименьших различных натуральных делителей натурального числа N, не считая единицы. Если у числа N меньше 5 таких делителей, то M (N) считается равным нулю.

Найдите 5 наименьших натуральных чисел, превышающих 200 000 000, для которых 0 < M (N) < N.

В ответе запишите найденные значения M (N) в порядке возрастания соответствующих им чисел N.

(А. Калинин) Дед Мороз, Снегурочка и три их верных коня, уставшие и утомлённые, вышли к огромной каменной двери. Она заперта на огромный навесной замок. К нему необходимо подобрать пароль состоящий из пяти наибольших чисел, принадлежащих отрезку [137982; 138310] и имеющих два различных делителя, отличных от единицы и самого числа. Эти числа записываются в порядке убывания в первом столбце, а во втором записываются их наибольшие делители, не равные самому числу.

Количество строк для ввода ответа избыточно.

Пусть M(N) – сумма пяти наибольших различных натуральных делителей натурального числа N, не считая самого числа N. Если у числа N меньше пяти таких делителей, то M(N) считается равным нулю. Найдите семь наименьших натуральных чисел, превышающих 4 000 000, для которых M(N) положительна и кратна 10.

Формат вывода: для каждого из найденных чисел в отдельной строке запишите само число, а затем соответствующее значение M(N).

Количество строк для ввода ответа избыточно.

(PRO100 ЕГЭ) Найдите все натуральные числа, принадлежащие отрезку [1 000 000 000 ; 2 000 000 000], у которых больше 100 различных нечётных делителей, количество чётных делителей может быть любым. И при этом число должно делиться на каждое из чисел: 7, 13, 17, 23, 29, но не делиться ни на 3, ни на 5. В ответе запишите количество подходящих чисел.

Пусть S - сумма различных натуральных делителей целого числа, являющихся простыми числами (не считая самого числа). 

Напишите программу, которая перебирает числа, большие 670 000, в порядке возрастания и ищет среди них такие, для которых значение S оканчивается на цифру 5. Программа должна найти и вывести первые 5 таких чисел и соответствующие им значения S. 

Формат вывода: для каждого числа выводится сначала само число, затем соответствующее ему значение S в порядке возрастания найденных чисел. 

Например, для числа 20: S = 2 + 5 = 7

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, превышающих 550000, первые пять чисел, удовлетворяющих условию: количество делителей, оканчивающихся на семь и не равных самому числу, равно трём.

В ответе запишите пять пар чисел в порядке возрастания первых чисел в паре: число и максимальный делитель, оканчивающийся на семь и не равный самому числу.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Пусть M(N) – произведение 5 наименьших различных натуральных делителей натурального числа N, не считая единицы. Если у числа N меньше 5 таких делителей, то M (N) считается равным нулю. Найдите 5 наименьших натуральных чисел, превышающих 200 000 000, для которых 0 < M(N) < N.

В ответе запишите найденные значения M(N) в порядке возрастания соответствующих им чисел N.

Количество строк для ввода ответа избыточно.

Обозначим через P(N) – произведение 5 наименьших различных нетривиальных делителей натурального числа N (не считая единицы и самого числа). Если у числа N меньше 5 таких делителей, то P(N) считается равным нулю. Найдите 5 наименьших натуральных чисел, превышающих 200 000 000, для которых P(N) оканчивается на 1 и не превышает N. В ответе для каждого найденного числа запишите сначала значение P(N), а затем – наибольший делитель, вошедший в произведение P(N).

Количество строк для ввода ответа избыточно.

(Л. Шастин) Среди чисел, принадлежащих отрезку: [5000000; 10000000], найти такие, которые могут являться точками градусных мер π∙n (n - целое число) на окружности (например, точка 6π соответствует 1080 градусам на окружности), количество делителей которых более 400, но менее 440. Вывести эти числа, справа от каждого вывести соответствующий ему наибольший простой делитель.

(А. Богданов) Найдите 5 чисел больших куба максимального простого двузначного числа, таких, что среди их делителей есть ровно три различных трехразрядных числа, оканчивающихся на 3.

В качестве ответа приведите 5 наименьших чисел, соответствующих условию.

Формат вывода: для каждого из 5 найденных чисел в отдельной строке сначала выводится само число, затем минимальный трехразрядный делитель, оканчивающийся на 3.

Пусть M – сумма минимального и максимального натуральных делителей целого числа, не считая единицы и самого числа. Если таких делителей у числа нет, то значение M считается равным нулю. 

Напишите программу, которая перебирает целые числа, бо́льшие 700 000, в порядке возрастания и ищет среди них такие, для которых значение M оканчивается на 8. Выведите первые пять найденных чисел и соответствующие им значения M.  

Формат вывода: для каждого из пяти таких найденных чисел в отдельной строке сначала выводится само число, затем – значение М. Строки выводятся в порядке возрастания найденных чисел. 

Количество строк в таблице для ответа избыточно. 

(Илья Женецкий) Рассматривается последовательность чисел, меньших 39345679 и идущих в порядке убывания. Найдите первые десять чисел, таких что они делятся на 2, 3, 5, 7, а число делителей(не считая единицы и самого числа) не менее 76, но не более 88.

В ответе укажите найденные десять чисел в порядке убывания, для каждого числа сначала укажите само число, затем найденное для него количество делителей.

Найдите 5 чисел больших 800000, таких, что сумма их наименьшего и наибольшего нетривиальных делителей (не считая единицы и самого числа) делится на 138. В качестве ответа приведите 5 наименьших чисел, соответствующих условию. Формат вывода: для каждого из найденных чисел в отдельной строке запишите само число, а затем сумму его наименьшего и наибольшего нетривиальных делителей.

Найдите 5 чисел больших 500000, таких, что среди их делителей есть число, оканчивающееся на 8, при этом этот делитель не равен 8 и самому числу.

В качестве ответа приведите 5 наименьших чисел, соответствующих условию.

Формат вывода: для каждого из 5 таких найденных чисел в отдельной строке сначала выводится само число, затем минимальный делитель, оканчивающийся на 8, не равный 8 и самому числу.

(А. Богданов) Найдите шестиразрядные натуральные числа, которые делятся только на четыре различных простых делителя, образующих арифметическую прогрессию, но не делятся на их квадраты. Запишите в порядке возрастания все найденные числа.

Пусть A - целое значение среднего арифметического натуральных делителей целого числа, являющихся простыми числами, не считая самого числа. Если таких делителей у числа нет, то считаем значение A равным нулю.

Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 310000, в порядке возрастания и ищет среди них такие, для которых значение А, не считая нуля, делится нацело на 6 и не оканчивается на 4. Программа должна найти и вывести первые 6 таких чисел и соответствующие им значения A.

Формат вывода: для каждого из 6 таких найденных чисел в отдельной строке сначала выводится само число, затем значение А.

Строки выводятся в порядке возрастания найденных чисел.

Например, для числа 10 А = [(2+5)/2] = 3

Примечание. Квадратные скобки в записи [x] применяются для обозначения целой части числа x.

Обозначим через F целую часть среднего арифметического всех простых делителей целого числа, не считая самого числа. Если таких делителей у числа нет, то считаем значение F равным нулю. Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 650000, в порядке возрастания и ищет среди них такие, для которых значение F при делении на 37 даёт в остатке 23.

Выведите первые 4 найденных числа в порядке возрастания и справа от каждого числа – соответствующее значение F.  

Количество строк для записи ответа избыточно.

Обозначим через F целую часть среднего арифметического всех натуральных делителей целого числа, кроме единицы и самого числа. Если таких делителей у числа нет, то считаем значение F равным нулю. Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 550000, в порядке возрастания и ищет среди них такие, для которых значение F при делении на 31 даёт в остатке 13.

Выведите первые 5 найденных чисел в порядке возрастания и справа от каждого числа – соответствующее значение F.  

Количество строк для записи ответа избыточно.

Обозначим через M разность максимального и минимального числа среди простых делителей целого числа, не считая самого числа. Если таких делителей у числа нет, то считаем значение M равным нулю. Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 450000, в порядке возрастания и ищет среди них такие, для которых значение M при делении на 29 даёт в остатке 11.

Выведите первые 4 найденных числа в порядке возрастания, справа от каждого числа запишите соответствующее значения M.  

Количество строк для записи ответа избыточно.

Обозначим через M разность максимального и минимального натуральных делителей целого числа, не считая единицы и самого числа. Если таких делителей у числа нет, то считаем значение M равным нулю. Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 350000, в порядке возрастания и ищет среди них такие, для которых значение M при делении на 23 даёт в остатке 9.

Запишите первые 6 найденных чисел в порядке возрастания, справа от каждого числа запишите соответствующее значение M.  

Количество строк для записи ответа избыточно.

Обозначим через S сумму простых делителей целого числа, не считая самого числа. Если таких делителей у числа нет, то считаем значение S равным нулю. Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 250000 в порядке возрастания и ищет среди них такие, для которых значение S не равно нулю и кратно 17.

Программа должна найти первые 5 таких чисел. Для каждого из них в отдельной строке сначала выводится само число, затем значение S. Строки выводятся в порядке возрастания найденных чисел.

Количество строк для записи ответа избыточно.

Обозначим через S сумму всех натуральных делителей целого числа, кроме единицы и самого числа. Если таких делителей у числа нет, то считаем значение S равным нулю. Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 150000 в порядке возрастания и ищет среди них такие, для которых значение S при делении на 13 даёт остаток 10.

Программа должна найти и первые 7 таких чисел. Для каждого из них запишите в отдельной строке сначала само число, затем значение S. Строки выводятся в порядке возрастания найденных чисел.

Количество строк для записи ответа избыточно.

Пусть M – сумма делителей, максимально приближенных к квадратному корню числа, которые в произведении дают исследуемое число (сомножители). Квадратный корень в качестве делителя не рассматривать. Если нет делителей, отличных от квадратного корня, единицы и самого числа, значение M считается равным 0.

Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 710 017, в порядке возрастания и ищет среди них такие, для которых значение M кратно 10 и больше M для предыдущего найденного числа.. Вывести первые 5 найденных чисел и соответствующие им значения M. 

Формат вывода: для каждого из 5 таких найденных чисел в отдельной строке сначала выводится само число, затем – значение М.

Например, для числа 50 M = 5 + 10 = 15

(А. Богданов) Найдите все девятиразрядные числа, которые содержат ровно два простых делителя (a и b) и два составных нетривиальных делителя (отличных от самого числа и 1). Причем |a-b|=14 и нет других простых чисел в интервале (a;b) . Запишите в порядке возрастания все найденные числа.

Пусть M – сумма минимального и максимального натуральных делителей целого числа, не считая единицы и самого числа. Если таких делителей у числа нет, то считаем значение M равным нулю. 

Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 452 021, в порядке возрастания и ищет среди них такие, для которых значение M при делении на 7 даёт в остатке 3. Вывести первые 5 найденных чисел и соответствующие им значения M.  

Формат вывода: для каждого из 5 таких найденных чисел в отдельной строке сначала выводится само число, затем – значение М. 

Строки выводятся в порядке возрастания найденных чисел. 

Например, для числа 20 М = 2 + 10 = 12.  

Количество строк в таблице для ответа избыточно. 

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, превышающих 136179, первые четыре числа, удовлетворяющих условию: сумма всех различных делителей числа, отличных от 1 и самого числа, при делении на 385 даёт остаток 91.

В ответе запишите эти четыре пары чисел в порядке возрастания первого числа в паре: число и сумму его различных делителей (исключая 1 и само число).

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Найдите все натуральные числа, N, принадлежащие отрезку [200 000 000; 400 000 000], которые можно представить в виде N = 2^m · 3ⁿ, где m – чётное число, n – нечётное число. В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания.

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, превышающих 250200, первые пять чисел, удовлетворяющих условию: сумма максимального и минимального различных делителей, отличных от единицы и самого числа, при делении на 123 даёт остаток 17.

В ответе запишите пять пар чисел в порядке возрастания первых чисел в паре: число и сумму максимального и минимального делителей этого числа.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, превышающих 350300, первые шесть чисел, удовлетворяющих условию: сумма всех различных делителей числа, отличных от 1 и самого числа, кратна 13.

В ответе запишите эти шесть пар чисел в порядке возрастания первого числа в паре: число, для каждого такого числа частное от деления на 13 суммы его различных делителей (исключая 1 и само число).

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Пусть S - сумма натуральных чётных делителей целого числа, не считая самого числа. Если таких делителей у числа нет, то считаем значение S равным нулю.

Напишите программу, которая перебирает целые числа из отрезка [1204300; 1204380] в порядке возрастания и ищет среди них такие, для которых значение S не равно нулю и кратно 10. Программа должна найти и вывести такие числа и соответствующие им значения S.

Формат вывода: для каждого из найденных чисел в отдельной строке сначала выводится само число, затем значение S. Строки выводятся в порядке возрастания найденных чисел.

Напишите программу, которая находит 10 простых чисел наиболее приближенные к числу 10000000 (10 миллионов). Причем 5 найденных чисел должны быть меньше заданного числа, остальные 5 чисел – больше.

Найденные числа расположите в порядке возрастания. В качестве ответа выведите пары чисел – расстояние от найденного числа до 10000000 и само число.

Например, для числа 50 ответ должен быть следующим:

Пусть S - сумма различных натуральных делителей целого числа, являющихся простыми числами, не считая самого числа.

Напишите программу, которая перебирает целые числа, меньшие 500 000, в порядке убывания и ищет среди них такие, для которых значение S не равно нулю и делится на 10. Программа должна найти и вывести первые 7 таких чисел и соответствующие им значения S.

формат вывода: для каждого из 7 таких найденных чисел в отдельной строке сначала выводится само число, затем значение S. Строки выводятся в порядке убывания найденных чисел.

Например, для числа 20 S = 2 + 5 =7

Выведите 6 чисел по порядку, начиная с 700000, таких, что количество натуральных делителей каждого следующего числа будет превосходить количество натуральных делителей предыдущего выведенного числа.

В качестве ответа приведите 6 пар – найденное число и количество его натуральных делителей.

Рассмотрим произвольное натуральное число, представим его всеми возможными способами в виде произведения двух натуральных чисел и найдём для каждого такого произведения разность сомножителей. Например, для числа 18 получим: 18 = 18*1 = 9*2 = 6*3, множество разностей содержит числа 17, 7 и 3. Подходящей будем называть пару сомножителей, разность между которыми не превышает 120. Найдите все натуральные числа, принадлежащие отрезку [2000000; 3000000], у которых есть не менее трёх подходящих пар сомножителей. В ответе перечислите найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого запишите наибольший из всех сомножителей, образующих подходящие пары.

Рассмотрим произвольное натуральное число, представим его всеми возможными способами в виде произведения двух натуральных чисел и найдём для каждого такого произведения разность сомножителей. Например, для числа 18 получим: 18 = 18*1 = 9*2 = 6*3, множество разностей содержит числа 17, 7 и 3. Подходящей будем называть пару сомножителей, разность между которыми не превышает 90. Найдите все натуральные числа, принадлежащие отрезку [500000; 1000000], у которых есть не менее трёх подходящих пар сомножителей. В ответе перечислите найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого запишите наибольший из всех сомножителей, образующих подходящие пары.

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [126849; 126871], числа, имеющие ровно 4 различных делителя. Выведите для каждого найденного числа два наибольших делителя в порядке возрастания.

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [100806; 100950], числа, имеющие ровно 6 различных делителей. Выведите для каждого найденного числа два наибольших делителя, не равных самому числу, в порядке возрастания.

(Б.С. Михлин) Напишите программу, которая ищет среди нечётных целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [248015; 251575] числа (в порядке возрастания) с нечётным количеством делителей. Для каждого такого числа выведите само число и делитель, квадрат которого равен этому числу.

Назовём нетривиальным делителем натурального числа его делитель, не равный единице и самому числу. Найдите все натуральные числа, принадлежащие отрезку [1523467; 4157812] и имеющие ровно три нетривиальных делителя. Для каждого найденного числа запишите в ответе два числа: само число и его наибольший нетривиальный делитель. Найденные числа расположите в порядке возрастания.

(Б.С. Михлин) Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [194441; 196500] простые числа (т.е. числа у которых только два делителя: 1 и само число), оканчивающиеся на 93. Для каждого простого числа выведите его порядковый номер (начиная с единицы), а затем – само число.

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [1820348; 2880927], числа, имеющие ровно 5 различных делителей. В ответе для каждого найденного числа запишите два его наибольших делителя в порядке возрастания.

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [11275; 16328], числа, имеющие ровно 5 различных делителей. В ответе для каждого найденного числа запишите два его наибольших делителя, не равных самому числу, в порядке возрастания.

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [164700; 164752], числа, имеющие ровно 6 различных делителей. В ответе для каждого найденного числа запишите два его наибольших делителя в порядке возрастания.

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [154026; 154043], числа, имеющие ровно 4 различных делителя. В ответе для каждого найденного числа запишите два его наибольших делителя в порядке возрастания.

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [3532000; 3532160], простые числа. Выведите все найденные простые числа в порядке возрастания, слева от каждого числа выведите его номер по порядку.

Рассмотрим произвольное натуральное число, представим его всеми возможными способами в виде произведения двух натуральных чисел и найдём для каждого такого произведения разность сомножителей. Например, для числа 18 получим: 18 = 18*1 = 9*2 = 6*3, множество разностей содержит числа 17, 7 и 3. Подходящей будем называть пару сомножителей, разность между которыми не превышает 110. Найдите все натуральные числа, принадлежащие отрезку [1000000; 1500000], у которых есть не менее трёх подходящих пар сомножителей. В ответе перечислите найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого запишите наибольший из всех сомножителей, образующих подходящие пары.

Рассмотрим произвольное натуральное число, представим его всеми возможными способами в виде произведения двух натуральных чисел и найдём для каждого такого произведения разность сомножителей, каждый из которых больше единицы. Например, для числа 24 получим: 24 = 2*12 = 3*8 = 4*6, множество разностей содержит числа 10, 5 и 2.

Найдите числа в диапазоне [543210; 987654], для которых:

- есть как минимум две различных пары натуральных сомножителей,

- максимальная разность сомножителей кратна минимальной разности сомножителей, не равной нулю;

- минимальная разность сомножителей больше 4444.

Для каждого найденного числа выведите два числа: найденное число и минимальную разность сомножителей, не равную нулю.

Для интервала [33333;55555] найти все простые числа, сумма цифр которых больше 35.

В качестве ответа приведите сначала найденное число, затем сумму цифр найденного числа.

Для интервала [33333;55555] найдите числа, которые кратны сумме своих простых делителей (не считая единицы и самого числа). В качестве ответа приведите числа, для которых сумма простых делителей больше 250, – сначала найденное число, затем сумма его простых делителей.

Уникальным назовём число, если у него первые две цифры нечётные. Для интервала [33333;55555] найдите уникальные числа, которые делятся на 7, 11, 13. В качестве ответа приведите пары чисел – порядковый номер по возрастанию найденного числа и само число.

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [6638225; 6638322], простые числа. Выведите все найденные простые числа в порядке возрастания, слева от каждого числа выведите его номер по порядку.

Рассматриваются целые числа, принадлежащих числовому отрезку [485617; 529678], которые представляют собой произведение трёх различных простых делителей, оканчивающихся на одну и ту же цифру. В качестве ответа приведите все числа, разность максимального и минимального простых делителей которого меньше 100.

Для каждого такого числа сначала запишите само число, а затем разность максимального и минимального простых делителей

Назовём нетривиальным делителем натурального числа его делитель, не равный единице и самому числу. Найдите все натуральные числа, принадлежащие отрезку [106732567; 152673836] и имеющие ровно три нетривиальных делителя. Для каждого найденного числа запишите в ответе само число и его наибольший нетривиальный делитель. Найденные числа расположите в порядке возрастания.

Например, для числа 2018 имеем следующие делители 2 и 1009. Поэтому результатом (не принимая во внимание количества делителей) будет пара чисел

2018 1009

Назовём нетривиальным делителем натурального числа его делитель, не равный единице и самому числу. Например, у числа 6 есть два нетривиальных делителя: 2 и 3.

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [159264873; 973146285] каждое двухтысячное число, начиная с первого (1-2001-4001 и т.д.) с нечётным количеством нетривиальных делителей

В качестве результата работы программы выведите найденные числа с количеством нетривиальных делителей больше 1 и количество таких делителей.

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [25317; 51237], которые имеют хотя бы 6 различных простых делителей. Делители 1 и само число не учитываются.

Для каждого найденного числа запишите найденное число и максимальный простой делитель этого числа.

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [224466; 664422], которые делятся на 5, 7 и 13 без остатка, при этом не кратны квадрату любого из перечисленных делителей и максимальный делитель не превышает 100 000. Делители 1 и само число не учитываются. Учитываются только те числа, максимальный делитель которых оканчивается на 19.

В качестве результата работы программы приведите найденное число и максимальный делитель этого числа.

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [321654; 654321], числа у которых есть только нечетные делители, количество которых больше 70. Делители 1 и само число не учитываются. Для каждого найденного числа запишите само число и максимальный по величине делитель.

Например, для числа 15 имеем делители 3 и 5. Поэтому результатом (не принимая во внимание количества делителей) будет пара чисел

15 5

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [100000; 500000] числа, имеющие больше 150 чётных делителей, не считая самого числа и единицы. Для каждого найденного числа запишите само число и разницу наибольшего и наименьшего из найденных делителей в таблицу.

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [326496; 649632], числа, у которых количество четных делителей равно количеству нечетных делителей. При этом в каждой из таких групп делителей не менее 70 элементов. Для каждого найденного числа запишите само число и минимальный делитель, больший 1000. 

Например, для числа 2018 имеем следующие делители 2 и 1009. Поэтому результатом (не принимая во внимание количества делителей) будет пара чисел

2018 1009

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [333555; 777999], числа, среди делителей которых есть ровно 35 двузначных чисел. Для каждого найденного числа запишите наименьший и наибольший из них. Так, например, для числа 36 учитываются только делители 12 и 18.

Следовательно, для него необходимо вывести два числа:

12 18

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [228224; 531135], числа, среди делителей которых есть хотя бы 4 различных куба натуральных нечетных чисел. Для каждого найденного числа запишите количество таких делителей и наибольший из них. В качестве делителей не рассматривать число 1. Так, например, для числа 8 учитываются только делители 2, 4 и 8.

Например, для числа 54 имеем следующие делители 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Следовательно для него необходимо вывести два числа:

1 27

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [135790; 163228], числа, сумма натуральных делителей которых больше 460000. Для каждого найденного числа запишите количество делителей и их сумму. В качестве делителей не рассматривать числа 1 и исследуемое число. Так, например, для числа 8 учитываются только делители 2 и 4.

Например, для числа 36 имеем следующие делители 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18. Следовательно для него необходимо вывести два числа: 

7 54

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [81234; 134689], числа, имеющие ровно три различных натуральных делителя, не считая единицы и самого числа. Для каждого найденного числа запишите эти три делителя в таблицу на экране с новой строки в порядке возрастания этих трех делителей. Делители в строке таблицы также должны следовать в порядке возрастания. 

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [174457; 174505], числа, имеющие ровно два различных 

натуральных делителя, не считая единицы и самого числа. Для каждого найденного числа запишите эти два делителя в таблицу на экране с новой строки в порядке возрастания произведения этих двух делителей. Делители в строке таблицы также должны следовать в порядке возрастания.